电子科技大学：冯旻昱|超越“幂律分布” 寻找解(3)
冯旻昱与这个“可爱的老头”在“亚态分布”的推导上做了很多交流。每当两人出现沟通障碍的时候，库思总会放慢语速甚至写下来，这一点给冯旻昱留下了深刻的印象。在修改冯旻昱的论文时，库思总是逐字逐句地琢磨，其严谨的治学精神让冯旻昱受益匪浅，也鼓励他坚持不懈地深入研究。
论文初稿终于写好，第一次审稿的周期就长达一年时间。2017年初，论文初审意见终于反馈回来，当冯旻昱看到长达十多页的审稿意见时，“感觉头都大了！”但他很快汲取审稿人的建议，进一步推敲数学推导过程乃至论文的字词句表述。
第二次审稿意见反馈后，他又找人提意见、反复斟酌修改，精益求精地打磨论文，终于在初稿的基础上改动了40%以上的内容后，其研究论文在顶级期刊《IEEE Transactions on Cybernetics》上获得发表。
亚态分布：巧解经济学上Gibrat法则的一个推论
在这篇论文中，冯旻昱发现，他提出的“亚态分布”不仅可以拟合大部分现实网络的度分布（如图1），还能拟合其他存在增量变化的不均匀分布。其数字特征可以广泛应用于不均匀数据拟合和数值分析，在网络科学、人工智能、统计学、经济学等学科领域有很高的理论和应用价值。
在拟合个人财富累积的分布数据时，“亚态分布”就体现出了极大的优势(如图2)。在过去的研究中，通常都将个人财富累积视为满足“幂律分布”，即所谓的“20/80”定律（20%的人占有80%的财富）。按照“20/80”定律，应该是社会上“穷人”最多，但实际上往往是中产阶级最多。难道“幂律分布”解释错了？
这个看似“无心插柳”的联想，却恰巧解决了经济学上的Gibrat法则的一个推论。按照Gibrat法则的推论，个人财富累积要么服从“幂律分布”，要么服从“对数正态分布”。但冯旻昱从数学上证明了，个人财富累积的分布其实是介于这二者之间的。换言之，Gibrat法则的推论其实是“亚态分布”的极端情况，在这种情况下，“亚态分布”中的参数取到极限值。
冯旻昱对于“亚态分布”理论这一堪称经典的应用，不仅证明了“亚态分布”在解释现实方面的有效性，而且证明了他坚持从理论上寻求根本性解决的道路是正确无疑的。“我喜欢用更数学的语言和方法来接近事物的本质，虽然这条路可能更加艰辛，但这条路却是我心目中最纯粹的那条路。”他微笑着如是说。